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《概率论与数理统计》第一学期期末试卷C (精选05)
一、选择题(每题2分，共20分)
- 袋中有 5 个红球和 3 个白球，从中不放回地依次取出 2 个球，则取出的两个球颜色不同的概率为（ ）
- A. $\dfrac{15}{28}$
- B. $\dfrac{15}{56}$
- C. $\dfrac{5}{14}$
- D. $\dfrac{3}{8}$
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答案：A
解析： 设事件 $A$ 表示"取出的两个球颜色不同"。
- 第一步：分析样本空间
从 8 个球中不放回依次取 2 个，总取法数为 $8 \times 7 = 56$。 - 第二步：计算有利情况
颜色不同包含两种情况：- 先红后白：$5 \times 3 = 15$
- 先白后红：$3 \times 5 = 15$ 有利情况总数为 $15 + 15 = 30$。
- 第三步：计算概率$$P(A) = \frac{30}{56} = \frac{15}{28}$$
故选 A。
难度: ⭐⭐ 考点: #古典概型 #不放回抽样
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📖 相关公式与知识点:
- 古典概型：$P(A) = \dfrac{\text{有利情况数}}{\text{总情况数}}$
- 不放回抽样中，每次抽取的概率受前次结果影响。
思路分析
不放回抽样需分步计算，注意区分"先红后白"与"先白后红"两种顺序。
易错点
易将不放回抽样误当作放回抽样计算，导致分母用 $8 \times 8$ 而非 $8 \times 7$。
🔄 举一反三
- 袋中有 4 个红球和 6 个白球，从中不放回地依次取出 2 个球，求取出的两个球颜色相同的概率。
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答案：$\dfrac{7}{15}$解析：颜色相同包括全红和全白。全红：$\frac{4}{10} \times \frac{3}{9} = \frac{12}{90}$；全白：$\frac{6}{10} \times \frac{5}{9} = \frac{30}{90}$；合计 $\frac{42}{90} = \frac{7}{15}$。
- 设 $P(A)=0.4$，$P(B)=0.5$，$P(A \cup B)=0.7$，则（ ）
- A. $A$ 与 $B$ 互不相容
- B. $A$ 与 $B$ 相互独立
- C. $P(A \mid B)=0.2$
- D. $P(B \mid A)=0.2$
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答案：B
解析：
- 第一步：求 $P(AB)$
由加法公式：$$P(AB) = P(A) + P(B) - P(A \cup B) = 0.4 + 0.5 - 0.7 = 0.2$$ - 第二步：判断各选项
- A：互不相容要求 $P(AB)=0$，但 $P(AB)=0.2 \neq 0$，错误。
- B：$P(A)P(B) = 0.4 \times 0.5 = 0.2 = P(AB)$，故 $A$ 与 $B$ 相互独立，正确。
- C：$P(A \mid B) = \dfrac{P(AB)}{P(B)} = \dfrac{0.2}{0.5} = 0.4 \neq 0.2$，错误。
- D：$P(B \mid A) = \dfrac{P(AB)}{P(A)} = \dfrac{0.2}{0.4} = 0.5 \neq 0.2$，错误。
故选 B。
难度: ⭐⭐ 考点: #事件独立性 #条件概率 #加法公式
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📖 相关公式与知识点:
- 加法公式：$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(AB)$
- 独立性充要条件：$P(AB) = P(A)P(B)$
- 条件概率：$P(A \mid B) = \dfrac{P(AB)}{P(B)}$
思路分析
先利用加法公式求出 $P(AB)$，再逐一验证各选项。
易错点
互不相容与相互独立是两个不同的概念，不可混淆。互不相容时 $P(AB)=0$，独立时 $P(AB)=P(A)P(B)$。
🔄 举一反三
- 设 $P(A)=0.3$，$P(B)=0.6$，若 $A$ 与 $B$ 互不相容，求 $P(A \cup B)$。
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答案：$0.9$解析：互不相容时 $P(AB)=0$，故 $P(A \cup B) = P(A) + P(B) = 0.3 + 0.6 = 0.9$。
- 设 $F(x)$ 是随机变量 $X$ 的分布函数，则下列结论错误的是（ ）
- A. $F(x)$ 是单调不减函数
- B. $0 \leq F(x) \leq 1$
- C. $F(x)$ 是右连续函数
- D. $F(x)$ 必为连续函数
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答案：D
解析： 分布函数 $F(x) = P\{X \leq x\}$ 具有以下基本性质：
- 单调不减性：若 $x_1 < x_2$，则 $F(x_1) \leq F(x_2)$，故 A 正确。
- 有界性：$0 \leq F(x) \leq 1$，且 $\lim\limits_{x \to -\infty}F(x)=0$，$\lim\limits_{x \to +\infty}F(x)=1$，故 B 正确。
- 右连续性：$F(x+0) = F(x)$，故 C 正确。
- D 错误：分布函数是右连续的，但不一定是连续函数。例如离散型随机变量的分布函数是阶梯函数，在取值点处有跳跃间断。
故选 D。
难度: ⭐ 考点: #分布函数性质 #右连续性
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📖 相关公式与知识点:
- 分布函数三大性质：单调不减、有界（$0 \leq F(x) \leq 1$）、右连续。
- 连续型随机变量的分布函数是连续函数；离散型随机变量的分布函数是阶梯函数。
思路分析
熟记分布函数的三条基本性质，注意"右连续"与"连续"的区别。
易错点
误认为所有分布函数都是连续函数。离散型分布函数在概率质量点处有跳跃，不是连续函数。
🔄 举一反三
- 判断：若 $X$ 是连续型随机变量，则其分布函数 $F(x)$ 一定是连续函数。
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答案：正确 解析：连续型随机变量的分布函数可表示为密度函数的积分，由积分上限函数的性质知其为连续函数。
- 设 $X \sim B(4, 0.5)$，则 $P\{X = 2\} =$（ ）
- A. $\dfrac{3}{8}$
- B. $\dfrac{1}{4}$
- C. $\dfrac{1}{2}$
- D. $\dfrac{3}{16}$
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答案：A
解析：$X \sim B(4, 0.5)$ 表示 $X$ 服从参数为 $n=4$，$p=0.5$ 的二项分布。
- 二项分布的概率公式：$$P\{X = k\} = C_n^k \, p^k (1-p)^{n-k}$$
- 代入计算：$$P\{X = 2\} = C_4^2 \times (0.5)^2 \times (0.5)^2 = 6 \times 0.25 \times 0.25 = \frac{6}{16} = \frac{3}{8}$$
故选 A。
难度: ⭐ 考点: #二项分布 #组合数
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📖 相关公式与知识点:
- 二项分布 $B(n, p)$ 的概率公式：$P\{X = k\} = C_n^k p^k (1-p)^{n-k}$
- $C_4^2 = \dfrac{4 \times 3}{2 \times 1} = 6$
思路分析
直接套用二项分布的概率质量函数公式即可。
易错点
注意 $C_n^k$ 的计算，不要与排列数 $A_n^k$ 混淆。
🔄 举一反三
- 设 $X \sim B(3, 0.4)$，求 $P\{X \geq 1\}$。
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答案：$0.784$解析：$P\{X \geq 1\} = 1 - P\{X = 0\} = 1 - C_3^0 \times (0.4)^0 \times (0.6)^3 = 1 - 0.216 = 0.784$。
- 设 $X \sim N(2, 9)$，则 $P\{X < 5\} =$（ ）（已知 $\Phi(1) = 0.8413$）
- A. $0.8413$
- B. $0.1587$
- C. $0.5$
- D. $0.6826$
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答案：A
解析：$X \sim N(2, 9)$ 表示 $X$ 服从均值为 $2$、方差为 $9$（标准差 $\sigma = 3$）的正态分布。
- 第一步：标准化$$Z = \frac{X - \mu}{\sigma} = \frac{X - 2}{3} \sim N(0, 1)$$
- 第二步：转化概率$$P\{X < 5\} = P\left\{\frac{X - 2}{3} < \frac{5 - 2}{3}\right\} = P\{Z < 1\} = \Phi(1)$$
- 第三步：查表得结果
$\Phi(1) = 0.8413$
故选 A。
难度: ⭐⭐ 考点: #正态分布 #标准化
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📖 相关公式与知识点:
- 正态分布标准化：若 $X \sim N(\mu, \sigma^2)$，则 $Z = \dfrac{X - \mu}{\sigma} \sim N(0, 1)$
- $\Phi(x)$ 为标准正态分布的分布函数。
思路分析
正态分布的概率计算必须先标准化，再查标准正态分布表。
易错点
注意区分方差 $\sigma^2$ 和标准差 $\sigma$，标准化时分母是标准差而非方差。
🔄 举一反三
- 设 $X \sim N(1, 4)$，求 $P\{X > 3\}$。（已知 $\Phi(1) = 0.8413$）
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答案：$0.1587$解析：$P\{X > 3\} = 1 - P\{X \leq 3\} = 1 - P\left\{\frac{X-1}{2} \leq 1\right\} = 1 - \Phi(1) = 1 - 0.8413 = 0.1587$。
设离散型随机变量 $X$ 的分布律为：
$X$ $-1$ $0$ $1$ $P$ $0.2$ $0.3$ $0.5$ 则 $E(X) =$（ ）
- A. $0$
- B. $0.3$
- C. $0.5$
- D. $1$
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答案：B
解析： 离散型随机变量的数学期望为各取值与其对应概率的乘积之和：
代入数据：
故选 B。
难度: ⭐ 考点: #数学期望 #离散型随机变量
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📖 相关公式与知识点:
- 离散型期望：$E(X) = \sum x_i p_i$
- 连续型期望：$E(X) = \int_{-\infty}^{+\infty} x f(x) \, dx$
思路分析
直接按定义加权求和即可，注意正负号。
易错点
计算时不要遗漏负号，$(-1) \times 0.2 = -0.2$。
🔄 举一反三
- 设 $X$ 的分布律为 $P\{X=0\}=0.4$，$P\{X=1\}=0.6$，求 $E(X^2)$。
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答案：$0.6$解析：$E(X^2) = 0^2 \times 0.4 + 1^2 \times 0.6 = 0.6$。
- 设 $X$ 与 $Y$ 相互独立，$D(X)=2$，$D(Y)=3$，则 $D(2X - Y) =$（ ）
- A. $1$
- B. $5$
- C. $7$
- D. $11$
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答案：D
解析： 利用方差的性质：
- 方差运算性质：$D(aX + bY) = a^2 D(X) + b^2 D(Y) + 2ab \, \text{Cov}(X, Y)$
- 独立性条件：$X$ 与 $Y$ 相互独立时，$\text{Cov}(X, Y) = 0$
- 代入计算：$$D(2X - Y) = 2^2 D(X) + (-1)^2 D(Y) = 4 \times 2 + 1 \times 3 = 8 + 3 = 11$$
故选 D。
难度: ⭐⭐ 考点: #方差性质 #独立性
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📖 相关公式与知识点:
- $D(aX + b) = a^2 D(X)$
- 若 $X$ 与 $Y$ 独立，则 $D(X \pm Y) = D(X) + D(Y)$
- $D(c) = 0$（常数的方差为零）
思路分析
利用独立性简化协方差项，直接套用方差线性运算公式。
易错点
注意系数要平方：$D(aX) = a^2 D(X)$，而非 $a D(X)$。
🔄 举一反三
- 设 $D(X)=4$，$D(Y)=1$，且 $X$ 与 $Y$ 独立，求 $D(X - 3Y)$。
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答案：$13$解析：$D(X - 3Y) = D(X) + (-3)^2 D(Y) = 4 + 9 \times 1 = 13$。
设 $(X, Y)$ 的联合分布律为：
$X \setminus Y$ $0$ $1$ $0$ $0.1$ $0.3$ $1$ $0.2$ $0.4$ 则 $\text{Cov}(X, Y) =$（ ）
- A. $-0.02$
- B. $0.02$
- C. $0.04$
- D. $-0.04$
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答案：A
解析： 协方差公式：$\text{Cov}(X, Y) = E(XY) - E(X)E(Y)$
- 第一步：求边缘分布
$P\{X=0\} = 0.1 + 0.3 = 0.4$，$P\{X=1\} = 0.2 + 0.4 = 0.6$$P\{Y=0\} = 0.1 + 0.2 = 0.3$，$P\{Y=1\} = 0.3 + 0.4 = 0.7$ - 第二步：求期望
$E(X) = 0 \times 0.4 + 1 \times 0.6 = 0.6$$E(Y) = 0 \times 0.3 + 1 \times 0.7 = 0.7$ - 第三步：求 $E(XY)$
$E(XY) = 0 \times 0 \times 0.1 + 0 \times 1 \times 0.3 + 1 \times 0 \times 0.2 + 1 \times 1 \times 0.4 = 0.4$ - 第四步：计算协方差
$\text{Cov}(X, Y) = 0.4 - 0.6 \times 0.7 = 0.4 - 0.42 = -0.02$
故选 A。
难度: ⭐⭐⭐ 考点: #协方差 #联合分布 #边缘分布
💡 学习锦囊
📖 相关公式与知识点:
- $\text{Cov}(X, Y) = E(XY) - E(X)E(Y)$
- $E(XY) = \sum_i \sum_j x_i y_j \, p_{ij}$
思路分析
先求边缘分布和各自的期望，再计算 $E(XY)$，最后代入协方差公式。
易错点
$E(XY)$ 需要对所有联合取值加权求和，不能直接用边缘分布计算。
🔄 举一反三
- 若 $X$ 与 $Y$ 相互独立，则 $\text{Cov}(X, Y)$ 等于多少？
查看练习答案与解析
答案：$0$解析：独立时 $E(XY) = E(X)E(Y)$，故 $\text{Cov}(X, Y) = 0$。但反之不成立（协方差为零不一定独立）。
- 设随机变量 $X$ 的期望 $E(X)=10$，方差 $D(X)=4$，利用切比雪夫不等式估计 $P\{|X - 10| \geq 6\} \leq$（ ）
- A. $\dfrac{1}{9}$
- B. $\dfrac{1}{3}$
- C. $\dfrac{4}{9}$
- D. $\dfrac{2}{3}$
查看答案与解析
答案：A
解析： 切比雪夫不等式：对于任意 $\varepsilon > 0$，
- 代入数据：$\varepsilon = 6$，$D(X) = 4$$$P\{|X - 10| \geq 6\} \leq \frac{4}{6^2} = \frac{4}{36} = \frac{1}{9}$$
故选 A。
难度: ⭐⭐ 考点: #切比雪夫不等式
💡 学习锦囊
📖 相关公式与知识点:
- 切比雪夫不等式：$P\{|X - E(X)| \geq \varepsilon\} \leq \dfrac{D(X)}{\varepsilon^2}$
- 等价形式：$P\{|X - E(X)| < \varepsilon\} \geq 1 - \dfrac{D(X)}{\varepsilon^2}$
思路分析
直接代入公式，注意 $\varepsilon$ 在分母上要平方。
易错点
切比雪夫不等式给出的是概率的上界估计，不是精确值。$\varepsilon$ 的单位与 $X$ 一致。
🔄 举一反三
- 设 $E(X)=\mu$，$D(X)=\sigma^2$，利用切比雪夫不等式估计 $P\{|X - \mu| < 3\sigma\}$ 的下界。
查看练习答案与解析
答案：$\geq \dfrac{8}{9}$解析：$P\{|X - \mu| < 3\sigma\} \geq 1 - \dfrac{\sigma^2}{(3\sigma)^2} = 1 - \dfrac{1}{9} = \dfrac{8}{9}$。
- 设 $X_1, X_2, \ldots, X_n$ 是来自总体 $N(\mu, \sigma^2)$ 的样本，其中 $\mu$ 未知，$\sigma^2$ 已知，则下列不是统计量的是（ ）
- A. $\overline{X} = \dfrac{1}{n}\displaystyle\sum_{i=1}^{n} X_i$
- B. $\dfrac{1}{n}\displaystyle\sum_{i=1}^{n} (X_i - \mu)^2$
- C. $\displaystyle\sum_{i=1}^{n} X_i^2$
- D. $\max\{X_1, X_2, \ldots, X_n\}$
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答案：B
解析：
- 统计量的定义：统计量是样本的函数，且不包含任何未知参数。
- 逐一分析：
- A：$\overline{X}$ 仅依赖于样本，不含未知参数，是统计量。
- B：表达式中含有未知参数 $\mu$，故不是统计量。
- C：$\sum X_i^2$ 仅依赖于样本，不含未知参数，是统计量。
- D：$\max\{X_1, \ldots, X_n\}$ 仅依赖于样本，不含未知参数，是统计量。
故选 B。
难度: ⭐ 考点: #统计量 #样本函数
💡 学习锦囊
📖 相关公式与知识点:
- 统计量：不含任何未知参数的样本函数。
- 常见统计量：样本均值 $\overline{X}$、样本方差 $S^2$、样本矩等。
思路分析
判断一个样本函数是否为统计量，只需检查表达式中是否出现未知参数。
易错点
注意区分"未知参数"与"已知常数"。若 $\mu$ 已知，则 B 也是统计量；但本题明确 $\mu$ 未知。
🔄 举一反三
- 设总体 $X \sim N(\mu, \sigma^2)$，$\mu$ 和 $\sigma^2$ 均未知。判断 $S^2 = \dfrac{1}{n-1}\displaystyle\sum_{i=1}^{n}(X_i - \overline{X})^2$ 是否为统计量。
查看练习答案与解析
答案：是 解析：$S^2$ 的表达式中只包含样本 $X_i$ 和样本均值 $\overline{X}$，不含未知参数 $\mu$ 和 $\sigma^2$，故是统计量。